O problema da alavanca de Arquimedes

Adaptado do Relato: ”¿Hubiera Podido Arquímedes Levantar la Tierra?”, de Yakov Perelman.

A famosa frase “Me dê um ponto de apoio e levantarei a Terra!”, atribuída a Arquimedes, é o exemplo perfeito de como a teoria pode ser impecável na matemática, mas esbarrar na dura realidade das leis do universo. A ideia básica que ele propôs ´e simples e aprendemos logo no início dos estudos de física: usando uma ”máquina” simples como a alavanca, não existe peso impossível de ser levantado. Basta que o lado da alavanca onde você faz força seja muito maior que o lado que sustenta o peso. Mas e se a gente tentasse levar esse experimento mental para a prática?

1 O Tamanho do Problema

Para entender o absurdo da proposta, precisamos colocar números reais nisso. A massa da Terra ´e de impressionantes 6 × 1024 kg (o número 6 seguido de 24 zeros).

Imagine que você está flutuando no espaço, encontrou um “ponto de apoio” mágico e construiu uma alavanca inquebrável. Você, como uma pessoa comum, consegue fazer uma força equivalente a levantar em torno a 60 kg. A física das alavancas — que no fundo ´e o Princípio da Conservação de Energia — funciona como uma balança matemática. A regra de ouro ´e: o que você ganha em força, você paga em distância. A equação fundamental é:

Ou seja: a força que você faz multiplicada pela distância que sua mão desce tem que ser igual ao peso da Terra multiplicado pela distância que ela sobe.

2 A Conta do Absurdo

Vamos ver como essa matemática se desenrola passo a passo se você quisesse erguer o nosso planeta em apenas 1 centímetro (0, 01 m ou 10^−2 m).

2.1 A diferença de forças

Primeiro, calculamos quantas vezes a Terra ´e mais “pesada” do que os 60 kg que você aguenta levantar. Basta dividir um pelo outro:

Isso significa que a Terra é 10^23 vezes mais massiva do que você consegue erguer. Para compensar isso, o braço da alavanca do seu lado precisaria ser 10^23 vezes mais longo do que o lado da Terra!

2.2 A distância que sua mão percorreria

Se a alavanca é tão colossalmente maior do seu lado, a distância que você precisa empurrá-la também será. Multiplicamos a distância que a Terra vai subir (10−2 m) por essa proporção:

Convertendo isso para quilômetros (dividindo por 1.000, ou 103 ), chegamos a 1018 km. Sua mão teria que

descrever um arco gigantesco no espaço, muito além dos limites do nosso sistema solar, para erguer a Terra em 1 mísero centímetro.

2.3 E quanto tempo isso levaria?

E se você empurrasse a alavanca num ritmo constante e vigoroso, baixando 1 metro por segundo (1 m/s)? Para percorrer os 1021 metros da conta anterior, você precisaria de exatamente 10^21 segundos.

Sabendo que um ano tem cerca de 31,5 milhões de segundos (3, 15 × 107 s), dividimos o tempo total para descobrir os anos:

3 O Pedágio do Universo

Arredondando, são quase 30 trilhões de anos! Mesmo que você empurrasse a alavanca sem parar, 24 horas por dia, durante toda a sua vida inteira, a Terra não se moveria nem a espessura de um fio de cabelo.

No fim das contas, a alavanca não burla as leis da física. Ela apenas nos mostra que o atalho para a força infinita é uma viagem inevitável pela eternidade. A matemática de Arquimedes funciona de forma brilhante no papel, mas o universo é implacável: ele te dá o poder de erguer um planeta, mas te cobra com a eternidade do tempo e do espaço para realizar o trabalho.